Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio ou seja a ausência de tudo. Sendo este denominado:
Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever:
| 301 = dasa | |
tri |
Os hindus tinham acabado de descobrir o zero. Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicionaUm dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito claramente:
| triny | ekaam | sapta | sat | triny | dve | catvary | ekaam |
| três | um | sete | seis | três | dois | quatro | um |
Escrever tais números na ordem invertida, fornece:
| um | quatro | dois | três | seis | sete | um | três |
| 1 | 4 | 2 | 3 | 6 | 7 | 1 | 3 |
Números como 123.000 eram escritos como:
| |
|
tri dvi dasa |
que significa:
zero zero zero três dois um
Escrivendo-o na ordem invertida fornece:
um dois três zero zero zero
No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por ordem de posição".
Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas e matemáticos.
— Notação posicional
Notação ou valor posicional é quando representamos um número no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral. Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando as posições dos algarismos teremos 21.
- 12 = 1 × 10 + 2
- 21 = 2 × 10 + 1
O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático acredita-se ter sido desenvolcvido pelos babilônios. Os registros mais antigos conhecidos onde constata-se o surgimento do número zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.
Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo.
Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.
A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês. Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.
Os indianos reuniram as diferentes características do princípio posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.
Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.
- O conjunto dos números pares: P={2,4,6...}.
- O conjunto dos números inpares: P = {1,5,7...}.
Obs.: Os subconjuntos podem ser finitos ou infinitos. Ou seja, por exemplo, o conjunto formado pelos pares menores que 20 é um subconjunto finito. Por sua vez, possui 20 elementos, caso consideremos o zero.
Propriedades da Adição
1 – Fechamento
A adição é fechada no conjunto dos números naturais, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura matemática como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.
2 – Associativa
A adição é associativa no conjunto dos números naturais, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
3 – Elemento neutro
Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
4 – Comutativa
A adição é comutativa no conjunto dos números naturais, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.
Exemplo: 4 × 9 é equivalente à somar o número 9 quatro vezes
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal x ou · ou × para representar a multiplicação.
1 – Fechamento
A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
2 – Associativa
Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60
3 – Elemento Neutro
No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7
4 – Comutativa
Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento.
m.n = n.m
3.4 = 4.3 = 12
5 - Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m . ( p + q ) = m . p + m . q
6 x ( 5 + 3 ) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
1 – Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
2 – Numa divisão de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7
3 – A divisão de um número natural n por zero não tem sentido pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:
n ÷ 0 = q
e isto significa que:
n = 0 x q = 0
o que não é correto, logo a divisão de n por 0 não tem sentido ou seja é dita impossível.
Dados dois números naturais x e y, a expressão xy, representa um produto de y fatores iguais ao número x, ou seja:
xy = x . x . x . x ... x . x . x
y vezes
O número que se repete como fator denomina-se base que neste caso é x. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é y. O resultado denomina-se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais.
Exemplos:
23 = 2 . 2 . 2 = 8
43 = 4 . 4 . 4 = 64
1 – Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotado por 1n, será sempre igual a 1.
Exemplos:
1n = 1 . 1 ... 1 (n vezes) = 1
13 = 1 . 1 . 1 = 1
17 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1
2 – Se n é um número natural diferente de zero, então a potência no será sempre igual a 1.
Exemplos:
n0 = 1
50 = 1
490 = 1
3 – A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é uma expressão que não possui de sentido no contexto do Ensino Fundamental.
4 – Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotado por n1 é igual ao próprio n.
Exemplos:
n1 = n
51 = 5
641 = 64
Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
